ભૌમિતિક શ્રેણી $1, -a, a^{2}, -a^{3}, \ldots$ માં $n$ પદો સુધીનો સરવાળો શોધો (જો $a \neq -1$ હોય).

જો $a, b, c, d$ અને $p$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \leq 0$ થાય,તો:

$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

ધારો કે ચાર ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ એ $G.P.$ માં છે. ધારો કે $b_1=a_1, b_2=b_1+a_2, b_3=b_2+a_3$ અને $b_4=b_3+a_4$.
$STATEMENT-1$ : સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ એ $A.P.$ માં પણ નથી અને $G.P.$ માં પણ નથી.
$STATEMENT-2$ : સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ એ $H.P.$ માં છે.

જો $0 < \phi < \frac{\pi}{2}$ માટે,$x = \sum_{n=0}^\infty \cos^{2n}\phi$,$y = \sum_{n=0}^\infty \sin^{2n}\phi$,અને $z = \sum_{n=0}^\infty \cos^{2n}\phi \sin^{2n}\phi$ હોય,તો:

જો એક સમગુણોત્તર શ્રેણીના $p$ માં,$q$ માં અને $r$ માં પદ અનુક્રમે $a, b, c$ હોય,તો $a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q} = \dots\dots$